Función de producción CES: fórmula, elasticidad y ejemplo

La función de producción CES (elasticidad de sustitución constante) es un modelo económico que representa cómo se combinan factores productivos, como capital y trabajo, para obtener un determinado nivel de producción. Su característica principal es que permite analizar diferentes grados de sustitución entre esos factores sin asumir necesariamente la elasticidad unitaria del modelo Cobb-Douglas.

Para una empresa, esto permite estudiar preguntas como: ¿qué podría ocurrir con la producción si aumenta el uso de maquinaria y disminuyen las horas de trabajo?, ¿qué tan importante es la facilidad para sustituir un factor por otro? y ¿por qué una misma combinación de recursos puede generar resultados diferentes según los parámetros del modelo?

En esta guía aprenderás qué significa CES, cómo interpretar su fórmula y su elasticidad de sustitución, y cómo calcular escenarios mediante un ejemplo empresarial. También podrás utilizar una plantilla Excel gratuita para realizar los cálculos, comparar combinaciones de capital y trabajo y analizar los resultados sin repetir manualmente todas las operaciones.

Este modelo complementa otros recursos de producción, capacidad y planificación operativa, aunque su propósito es específicamente económico: representar una relación tecnológica entre insumos y producción, no sustituir la programación diaria de una planta.

¿Qué es la función de producción CES?

La función de producción CES, denominada así por la expresión inglesa Constant Elasticity of Substitution, es una función matemática que permite representar una tecnología de producción en la cual la elasticidad de sustitución entre factores permanece constante a lo largo de las combinaciones consideradas por el modelo.

En su aplicación más conocida, relaciona dos factores:

• Capital (K): servicios productivos proporcionados por maquinaria, equipos, instalaciones u otros bienes de capital.
• Trabajo (L): servicios laborales utilizados en la producción, que pueden expresarse mediante horas de trabajo u otras unidades apropiadas.

El modelo permite estudiar cómo se relaciona la combinación de estos recursos con la cantidad producida, bajo determinados supuestos tecnológicos.

La función CES fue introducida en la investigación de Kenneth Arrow, Hollis Chenery, Bagicha Minhas y Robert Solow publicada en 1961, Capital-Labor Substitution and Economic Efficiency. Su desarrollo amplió las posibilidades de estudiar la sustitución de factores respecto de funciones que imponen una elasticidad igual a uno.

Es importante entender que elasticidad constante no significa sustitución ilimitada. La facilidad relativa de sustituir capital por trabajo depende del valor concreto de esa elasticidad.

Además, CES es una representación teórica. Que una empresa pueda utilizarla para describir su tecnología real depende de la calidad de los datos, la especificación del modelo y la estimación o justificación de sus parámetros.

Fórmula de la función de producción CES

Existen diferentes formas de escribir una función CES. Para evitar confusiones con las convenciones utilizadas en distintos libros y estudios, trabajaremos con la siguiente parametrización de dos factores:

Q = A × [δ × K^ρ + (1 − δ) × L^ρ]^1/ρ

Esta expresión corresponde a una función CES homogénea de grado uno, es decir, con rendimientos constantes a escala. No todas las versiones posibles de CES están restringidas a esta propiedad.

Símbolo	Significado	Interpretación
Q	Producción	Cantidad obtenida mediante la combinación de factores.
A	Parámetro de productividad o escala	Ajusta el nivel de producción representado por la función.
K	Capital	Servicios del factor capital utilizados en el proceso.
L	Trabajo	Servicios laborales utilizados en el proceso.
δ	Ponderación del capital	Parámetro situado estrictamente entre 0 y 1 en el modelo de dos factores.
ρ	Parámetro de sustitución	Determina la curvatura de la función y se relaciona con la elasticidad.
σ	Elasticidad de sustitución	Mide la facilidad relativa de sustituir un factor por otro en el sentido económico del modelo.

Para esta convención, la relación entre el parámetro de sustitución y la elasticidad es:

σ = 1 / (1 − ρ)

Y, si conocemos la elasticidad y necesitamos calcular el parámetro correspondiente:

ρ = (σ − 1) / σ

En esta formulación se considera σ > 0 y, por tanto, ρ < 1. Para efectuar los cálculos con exponentes negativos o fraccionarios también es necesario trabajar con cantidades positivas de los factores.

El valor ρ = 0 requiere un tratamiento especial: la expresión anterior no debe calcularse mediante sustitución directa porque contiene el exponente 1/ρ. En ese caso se utiliza el límite Cobb-Douglas, como veremos más adelante.

Finalmente, δ es un parámetro tecnológico de ponderación. No debe interpretarse automáticamente como el porcentaje observado de gasto en maquinaria o como una participación contable del capital. Esa correspondencia necesita supuestos y condiciones adicionales.

¿Cómo interpretar la elasticidad de sustitución en CES?

La elasticidad de sustitución entre capital y trabajo describe cómo puede variar la proporción utilizada de ambos factores ante cambios en la tasa marginal de sustitución técnica, manteniendo constante el nivel de producción.

En términos sencillos, permite representar si es relativamente difícil o fácil reemplazar parte de un factor productivo por el otro para conservar una cantidad de producción determinada.

Esta elasticidad no debe confundirse con la elasticidad de la producción respecto del capital o del trabajo. Tampoco indica directamente cuánto aumentará la producción cuando se compre una máquina adicional.

Valor de σ	Interpretación	Implicación para el modelo
0 < σ < 1	Menor facilidad relativa de sustitución.	La combinación productiva presenta mayor dificultad para compensar reducciones de un factor mediante aumentos del otro.
σ = 1	Elasticidad unitaria.	Se obtiene el caso Cobb-Douglas como límite.
σ > 1	Mayor facilidad relativa de sustitución.	El modelo permite ajustes relativamente más amplios de la proporción entre capital y trabajo.
σ → 0	Sustitución prácticamente nula.	Se aproxima al caso límite de proporciones fijas, tipo Leontief.
σ → ∞	Sustitución muy elevada.	Se aproxima a una función lineal de sustitutos perfectos.

Por ejemplo, si una operación necesita determinadas labores manuales que no pueden reemplazarse fácilmente con maquinaria, puede presentar una sustitución limitada. En cambio, otras operaciones podrían permitir ajustes más amplios entre equipos y trabajo, siempre que exista una tecnología que lo haga posible.

Esto no significa que cada actividad tenga una elasticidad conocida o que podamos asignarla por simple observación. En aplicaciones reales, su valor debe apoyarse en información empírica, estudios sectoriales pertinentes o hipótesis de simulación claramente identificadas.

Las estimaciones publicadas de la elasticidad difieren entre contextos y métodos. Robert Chirinko, en su revisión σ: The Long and Short of It, estudia precisamente las dificultades de estimar este parámetro y de comparar evidencia de corto y largo plazo.

El caso de elasticidad igual a uno conecta CES con la función de producción Cobb-Douglas. Si necesitas aprender específicamente su fórmula, sus rendimientos a escala y su aplicación, puedes consultar esa guía complementaria.

Cómo calcular la función CES paso a paso

Para facilitar los cálculos empresariales utilizaremos una función CES normalizada. En lugar de introducir directamente cantidades de capital y trabajo que pueden tener unidades diferentes, comparamos sus valores con una situación de referencia.

Esta forma permite que la producción estimada coincida con la producción base cuando los factores conservan sus valores iniciales.

La expresión que utilizaremos es:

Q = Q₀ × [δ × (K/K₀)^ρ + (1 − δ) × (L/L₀)^ρ]^1/ρ

En esta ecuación:

• Q₀: producción de referencia.
• K₀: capital utilizado en la situación de referencia.
• L₀: trabajo utilizado en la situación de referencia.
• K/K₀: capital del escenario dividido entre el capital de referencia.
• L/L₀: trabajo del escenario dividido entre el trabajo de referencia.

Las relaciones K/K₀ y L/L₀ no tienen unidades, siempre que cada factor se mida de manera consistente entre la situación inicial y el escenario.

La normalización es una herramienta útil para comparar escenarios, pero no garantiza que los parámetros sean correctos. Rainer Klump, Peter McAdam y Alpo Willman explican su importancia y sus propiedades en The Normalized CES Production Function: Theory and Empirics.

Paso 1. Identificar los datos de referencia

Consideremos a Manufacturas Andina, una empresa ficticia que fabrica componentes y utiliza maquinaria y trabajo en una operación productiva.

La empresa quiere explorar qué ocurriría si incrementara las horas de uso de maquinaria y redujera las horas de trabajo empleadas en esa misma operación.

Variable	Situación base	Escenario propuesto
Capital (horas-máquina)	100	160
Trabajo (horas-persona)	200	140
Producción de referencia	1.000 unidades	Por calcular
Ponderación δ	0,40	Se mantiene constante

Todos los datos son hipotéticos. Las horas-máquina y las horas-persona representan medidas simplificadas de servicios productivos para este ejercicio; no constituyen por sí mismas una valoración monetaria del capital ni una medición completa de calidad laboral.

Paso 2. Definir la elasticidad y calcular ρ

Supongamos inicialmente una elasticidad de sustitución de σ = 0,5.

Aplicamos:

ρ = (0,5 − 1) / 0,5 = −1

El parámetro de sustitución correspondiente es −1. Este valor se utilizará como exponente en la función normalizada.

La elasticidad se está utilizando como supuesto de simulación, no como resultado de una estimación estadística realizada para Manufacturas Andina.

Paso 3. Calcular la producción del escenario

Primero obtenemos las relaciones de capital y trabajo respecto de la situación inicial:

K/K₀ = 160 / 100 = 1,6

L/L₀ = 140 / 200 = 0,7

Esto significa que el capital del escenario equivale al 160 % del capital inicial y que el trabajo representa el 70 % del nivel de referencia.

Sustituimos en la función CES normalizada:

Q = 1.000 × [0,40 × 1,6⁻¹ + 0,60 × 0,7⁻¹]⁻¹

Calculamos los componentes:

0,40 × 1,6⁻¹ = 0,25

0,60 × 0,7⁻¹ ≈ 0,857143

La suma es aproximadamente 1,107143. Como el exponente final es −1, calculamos su inverso:

Q = 1.000 / 1,107143 ≈ 903,23 unidades

La función estima una producción de aproximadamente 903,23 unidades para el escenario considerado y bajo el supuesto de elasticidad igual a 0,5.

Paso 4. Comparar con la producción de referencia

Para interpretar el resultado calculamos la variación relativa frente a la producción inicial:

Variación (%) = [(Q / Q₀) − 1] × 100

Variación = [(903,2258 / 1.000) − 1] × 100 ≈ −9,68 %

Según este modelo, la nueva combinación de capital y trabajo produciría aproximadamente un 9,68 % menos que la situación de referencia.

El resultado no significa que la maquinaria adicional perjudique siempre a la empresa. Significa que, con la tecnología CES y los parámetros utilizados, el aumento del capital no compensa completamente la reducción del trabajo.

La conclusión debe limitarse a los supuestos del ejercicio, ya que no se ha estimado empíricamente la tecnología real de Manufacturas Andina.

Ejemplo de función CES en una empresa: comparación de escenarios

Una ventaja del modelo CES es que podemos conservar la misma combinación de capital y trabajo y analizar cómo cambian los resultados cuando utilizamos diferentes supuestos sobre la elasticidad de sustitución.

Retomaremos el ejemplo de Manufacturas Andina con los siguientes datos comunes:

• Producción base: 1.000 unidades.
• Capital inicial: 100 horas-máquina.
• Trabajo inicial: 200 horas-persona.
• Capital del escenario: 160 horas-máquina.
• Trabajo del escenario: 140 horas-persona.
• Ponderación del capital: δ = 0,40.

Únicamente modificaremos la elasticidad supuesta entre tres valores: 0,5; 1 y 2.

Elasticidad σ	Parámetro ρ	Producción estimada	Variación frente a la base
0,5	−1	903,23 unidades	−9,68 %
1	0, caso límite Cobb-Douglas	974,33 unidades	−2,57 %
2	0,5	1.015,98 unidades	+1,60 %

Resultados calculados con la versión normalizada de dos factores, manteniendo la ponderación δ = 0,40 y la situación de referencia. Los valores se redondean para su presentación.

Escenario 1. Elasticidad de sustitución de 0,5

Cuando σ = 0,5, la sustitución relativa entre capital y trabajo es más limitada. Bajo esta tecnología hipotética, aumentar las horas-máquina un 60 % y reducir las horas-persona un 30 % genera una producción estimada inferior a la base.

El resultado es de 903,23 unidades, equivalente a una reducción aproximada del 9,68 %.

Escenario 2. Elasticidad de sustitución de 1

Cuando σ = 1, utilizamos el límite Cobb-Douglas de la función normalizada:

Q = Q₀ × (K/K₀)^δ × (L/L₀)^(1−δ)

Con los datos del ejemplo:

Q = 1.000 × 1,6^0,40 × 0,7^0,60 ≈ 974,33 unidades

La producción disminuye aproximadamente un 2,57 % frente a la referencia. El resultado es diferente del primer escenario porque también cambió el supuesto tecnológico sobre sustitución.

Escenario 3. Elasticidad de sustitución de 2

Cuando σ = 2, el parámetro de sustitución es:

ρ = (2 − 1) / 2 = 0,5

Aplicamos la función normalizada:

Q = 1.000 × [0,40 × 1,6^0,5 + 0,60 × 0,7^0,5]²

El resultado es aproximadamente 1.015,98 unidades, un incremento del 1,60 % frente a la producción inicial.

¿Qué nos enseña la comparación?

Los tres escenarios emplean las mismas cantidades iniciales, la misma combinación propuesta de capital y trabajo y la misma ponderación. Sin embargo, obtienen resultados distintos porque cambia la elasticidad de sustitución supuesta.

La conclusión correcta es que la estimación de producción es sensible a los supuestos tecnológicos del modelo. No sería correcto concluir que una empresa puede elegir libremente una elasticidad de 2 para producir más.

También hay una precaución adicional: comparar modelos CES con diferentes elasticidades requiere definir de manera coherente la referencia, los parámetros y las condiciones de calibración. Jonathan Temple analiza este problema en The Calibration of CES Production Functions.

En nuestro ejercicio, los escenarios son ilustrativos y permiten entender la sensibilidad matemática de una formulación normalizada concreta. No constituyen una prueba de que el resultado con σ = 2 sea el más probable, el más rentable o el más adecuado para Manufacturas Andina.

Diferencias entre CES, Cobb-Douglas y Leontief

Las funciones CES, Cobb-Douglas y Leontief representan diferentes supuestos sobre la relación entre factores productivos. Comprender sus diferencias ayuda a seleccionar una representación coherente con el problema económico estudiado.

Modelo	Supuesto de sustitución	Interpretación principal
CES	Elasticidad constante que puede diferir de uno.	Permite representar distintos grados de sustitución entre factores productivos.
Cobb-Douglas	Elasticidad de sustitución igual a uno.	Es un caso particular o límite de la familia CES de dos factores.
Leontief	Sin sustitución entre factores en su forma de proporciones fijas.	La producción está condicionada por combinaciones técnicas fijas de insumos.

Una tecnología de proporciones fijas puede resultar conceptualmente apropiada cuando aumentar un factor no compensa la falta de otro. Por ejemplo, disponer de más maquinaria idéntica no necesariamente eleva la producción si cada equipo requiere un operador y no hay trabajadores suficientes.

En cambio, si existen técnicas que permiten sustituir parte del trabajo por servicios adicionales de capital, una función CES con elasticidad positiva puede resultar más flexible como representación.

La elección entre modelos no depende de cuál produzca el resultado numérico más favorable, sino de cuál describe razonablemente la tecnología que se pretende estudiar.

También debe distinguirse la sustitución entre factores de los rendimientos a escala. La primera analiza cambios en la proporción de insumos; los segundos estudian qué ocurre cuando se multiplican conjuntamente los factores productivos. Son propiedades diferentes.

En la formulación CES utilizada aquí se suponen rendimientos constantes a escala. Si capital y trabajo aumentaran ambos un 10 %, manteniendo iguales los demás parámetros, la producción estimada también aumentaría un 10 %. Existen especificaciones CES que permiten estudiar otros rendimientos a escala, pero no son necesarias para desarrollar el ejemplo de esta guía.

Aplicaciones y limitaciones de la función CES

La función CES puede utilizarse en análisis económicos donde interesa representar cómo distintas combinaciones de factores se relacionan con la producción y cómo influye la elasticidad de sustitución.

¿Para qué puede utilizarse?

• Comparar escenarios productivos: analizar cómo responde el modelo ante distintas cantidades de capital y trabajo.
• Estudiar sustitución entre factores: explorar la sensibilidad de la producción bajo diferentes elasticidades justificadas.
• Evaluar hipótesis tecnológicas: representar operaciones donde el reemplazo relativo de trabajo por capital puede ser más o menos limitado.
• Apoyar investigaciones económicas: analizar producción, crecimiento y demanda de factores mediante modelos teóricos o estimaciones econométricas.

Para una pyme, su uso más accesible consiste en comprender el comportamiento del modelo mediante escenarios. Esto puede servir como ejercicio previo para plantear preguntas sobre inversión, automatización y organización de recursos, pero no constituye por sí solo una evaluación económica completa de esas decisiones.

Limitaciones que deben considerarse

1. La elasticidad no se obtiene automáticamente. La empresa debe contar con información, investigación o supuestos justificados. Introducir un valor de σ en una calculadora no equivale a estimar la elasticidad de su tecnología real.

2. La función simplifica el proceso productivo. En operaciones reales pueden intervenir materias primas, energía, capacidades laborales heterogéneas, calidad, tiempos de preparación, tecnología y restricciones que no quedan representadas por un modelo de solo dos factores.

3. Producción estimada no significa capacidad operativa. Una empresa puede obtener un resultado matemático favorable y, aun así, enfrentar restricciones de turnos, mantenimiento, materiales o cuellos de botella. Para estudiar esos límites conviene utilizar un análisis específico de capacidad operativa.

4. El modelo no determina la rentabilidad. Una mayor producción estimada no demuestra que convenga invertir en maquinaria. También deben analizarse el costo del capital, la remuneración del trabajo, los gastos de mantenimiento, la financiación y la demanda esperada.

5. Los parámetros no siempre son estables en la práctica. Las condiciones tecnológicas pueden cambiar con el aprendizaje, la innovación, la calidad de los factores o las características del periodo analizado. El supuesto CES debe evaluarse frente a la realidad estudiada.

6. No reemplaza los indicadores de desempeño real. La producción estimada es distinta de métricas como productividad observada, tasa de rechazo, disponibilidad y cumplimiento del plan. Para estas últimas puedes consultar nuestros indicadores de producción.

Errores comunes al utilizar una función CES

• Confundir ρ con σ: están relacionados matemáticamente, pero no son el mismo parámetro.
• Calcular directamente con ρ = 0: debe aplicarse el límite Cobb-Douglas.
• Mezclar unidades o periodos: las cantidades del escenario deben compararse con una referencia definida de forma consistente.
• Asignar elasticidades sin sustento: los resultados pueden variar considerablemente según el valor supuesto.
• Interpretar cualquier aumento de producción como una mejora económica: el costo de obtener ese resultado podría superar su beneficio.
• Ignorar restricciones operativas: el cálculo matemático no garantiza que una combinación de factores sea viable físicamente.

Desde el punto de vista econométrico, la estimación de CES también presenta dificultades de identificación y especificación. J. Kmenta examinó tempranamente estos problemas en On Estimation of the CES Production Function.

Por estas razones, los resultados de una plantilla educativa deben presentarse como estimaciones condicionadas a los supuestos introducidos, nunca como predicciones garantizadas de la producción real.

Descarga la plantilla

Utiliza nuestra plantilla Excel gratuita de función de producción CES para calcular la producción estimada, comparar escenarios de capital y trabajo y observar cómo cambian los resultados bajo diferentes supuestos de elasticidad de sustitución. La herramienta incluye un ejemplo empresarial, toma como referencia una situación inicial y contempla el tratamiento especial del caso Cobb-Douglas cuando σ = 1.

Preguntas frecuentes sobre la función CES

¿Qué significa CES en una función de producción?

CES significa Constant Elasticity of Substitution, o elasticidad de sustitución constante. Es una familia de funciones que permite representar la relación entre factores productivos, como capital y trabajo, mediante una elasticidad de sustitución constante que puede tomar diferentes valores positivos.

¿Qué sucede si la elasticidad de sustitución es igual a uno?

Cuando σ = 1, la CES considerada converge al caso Cobb-Douglas. En la parametrización utilizada en esta guía, esto corresponde al límite cuando ρ tiende a cero. Por tanto, la producción debe calcularse con la fórmula del límite Cobb-Douglas y no sustituyendo directamente ρ = 0 en una expresión que contiene 1/ρ.

¿Una pequeña empresa puede utilizar la función CES?

Sí, puede utilizarla como ejercicio de análisis de escenarios para comprender cómo afectan los supuestos de sustitución a la producción estimada. Sin embargo, si pretende utilizarla para decisiones reales de inversión, contratación o automatización, necesitará datos apropiados y una justificación técnica de los parámetros.

¿Cómo se obtiene la elasticidad real de sustitución?

La elasticidad puede estimarse mediante métodos econométricos y datos de producción, factores y otras variables relevantes, bajo determinados supuestos de identificación y especificación. También pueden consultarse investigaciones aplicables al sector estudiado. No es posible conocer con fiabilidad la elasticidad real de una empresa únicamente observando una combinación de capital, trabajo y producción.

Fuentes académicas y referencias

Los conceptos de esta guía se fundamentan en investigaciones originales y revisiones académicas sobre la función CES, la elasticidad de sustitución y los problemas de estimación y normalización. El ejemplo de Manufacturas Andina y sus valores numéricos son desarrollos didácticos, no resultados empíricos de las investigaciones citadas.

• Arrow, K. J., Chenery, H. B., Minhas, B. S. y Solow, R. M. (1961). Capital-Labor Substitution and Economic Efficiency. The Review of Economics and Statistics, 43(3), 225-250. Investigación fundacional de la función CES. Consultar publicación.
• Kmenta, J. (1967). On Estimation of the CES Production Function. International Economic Review, 8(2), 180-189. Estudio de cuestiones econométricas relacionadas con la estimación de CES. Consultar publicación.
• Chirinko, R. S. (2008). σ: The Long and Short of It. Journal of Macroeconomics, 30(2), 671-686. Revisión sobre la elasticidad de sustitución, sus estimaciones y las diferencias entre enfoques temporales. Consultar publicación.
• Klump, R., McAdam, P. y Willman, A. (2012). The Normalized CES Production Function: Theory and Empirics. Journal of Economic Surveys, 26(5), 769-799. Revisión de la función CES normalizada, sus propiedades y aplicaciones empíricas. Consultar publicación.
• Temple, J. (2012). The Calibration of CES Production Functions. Journal of Macroeconomics, 34(2), 294-303. Análisis de las condiciones y limitaciones de calibración de funciones CES normalizadas. Consultar publicación.
• Biddle, J. (2020). The Origins of the CES Production Function. History of Political Economy, 52(4), 621-652. Investigación histórica sobre el desarrollo y la difusión de la función CES. Consultar publicación.